Κεφάλαιο 5
Η απεικόνιση Gauss και καμπυλότητα

Σύνοψη
΄Ενας από τους κεντρικούς στόχους της διαφορικής γεωμετρίας είναι η εύρεση ενός φυσικού και αποτελεσματικού τρόπου, προκειμένου να μετρηθεί η κύρτωση μη επίπεδων αντικειμένων (καμπύλες, επιφάνειες αλλά και άλλων). ϒπάρχουν τουλάχιστον δύο τρόποι προκειμένου να οριστεί η καμπυλότητα μιας επιφάνειας. Εδώ θα ακολουθήσουμε τη διαδικασία μέσω της απεικόνισης Gauss, δηλαδή ουσιαστικά μιας απεικόνισης που σε κάθε σημείο μιας επιφάνειας αντιστοιχεί ένα μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στον αντίστοιχο εφαπτόμενο χώρο.

Η προσέγγιση αυτή δεν είναι ο ιστορικός ορισμός που είχε δοθεί από τον Gauss, ο οποίος είναι λίγο πιο περίπλοκος. ΄Οπως και να έχει, η καμπυλότητα Gauss μιας επιφάνειας θα οριστεί ως ένα μέγεθος η μέτρηση του οποίου απαιτεί να "βλέπουμε" την επιφάνεια ως υποσύνολο του ℝ3. Το Θαυμαστό Θεώρημα (Theorema Egregium) του Gauss το οποίο θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο, αναφέρει ότι η καμπυλότητα είναι ένα μέγεθος που μπορεί να μετρηθεί (ή να αναγνωριστεί) από έναν παρατηρητή ο οποίος βρίσκεται επάνω στην επιφάνεια και όχι εκτός αυτής. Είναι δηλαδή ένα εσωτερικό μέγεθος της επιφάνειας. Με πιο απλο᾽ικό τρόπο, ο καπετάνιος ενός πλοίου που ταξιδεύει σε μεγάλη απόσταση, είναι δυνατόν να διαπιστώσει με δικές του μετρήσεις ότι η γη είναι σφαιρική και δεν χρειάζεται να επικοινωνήσει με πιλότο αεροπλάνου για τον σκοπό αυτό!

Για περισσότερες πληροφορίες προτείνουμε τα βιβλία [1], [2], [3], [4], [5], [6].

Προαπαιτούμενη γνώση
Αναλυτική Γεωμετρία, Απειροστικός Λογισμός, Εισαγωγή στη Γραμμική ΄Αλγεβρα.

Ορισμός 5.1: ΄Εστω M μια κανονική επιφάνεια. Μια λεία απεικόνιση N : M → S2 ονομάζεται απεικόνιση Gauss της M εάν για κάθε p ∈ M η εικόνα N(p) έχει διάνυσμα θέσης ίσο με το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο της M στο p.

Εάν μια τέτοια απεικόνιση υπάρχει, τότε η επιφάνεια M ονομάζεται προσανατολίσιμη (orientable). Η επιφάνεια M εφοδιασμένη με μια τέτοια απεικόνιση Gauss ονομάζεται προσανατολισμένη (oriented) επιφάνεια.


Σχήμα 5.1: Η απεικόνιση Gauss.

Παραδείγματα.
1. ΄Εστω M = {(x,y,0) ∈ ℝ3 : x,y ∈ ℝ} το επίπεδο xy. Τότε μια απεικόνιση Gauss είναι η N(x,y,0) = (0,0,1).

2. ΄Εστω M = S2. Τότε μια απεικόνιση Gauss είναι η N = IdS2, όπου Id : S2 → S2,Id(p) = p η ταυτοτική απεικόνιση της M.

3. ΄Εστω M = S1 × ℝ ο ορθός μοναδιαίος κύλινδρος. Τότε N(x,y,z) = (x,y,0) είναι μια απεικόνιση Gauss.

4. Η ταινία του Möbius (αναζητήστε τοπική παραμέτρηση και περιγραφή στη βιβλιογραφία) δεν επιδέχεται απεικόνιση Gauss, δηλαδή είναι μια μη προσανατολίσιμη επιφάνεια.


Σχήμα 5.2: Η ταινία του Möbius.

Παρατηρήσεις

  1. Κάθε κανονική επιφάνεια είναι τοπικά προσανατολισμένη. Πράγματι, αν X : U → X(U) ⊂ M είναι μια τοπική παραμέτρηση της M με X(-→ 0) = p, τότε για κάθε q = X(u,υ) ∈ X(U) η απεικόνιση
    X (u,v)× X (u,v) N (q) = N (X (u,v)) = ---u---------v------ ∥Xu (u,v)× Xv (u,v)∥
    είναι μια (τοπική) απεικόνιση Gauss της M.
  2. Αν N : M → S2 είναι μια απεικόνιση Gauss της M, τότε το διάνυσμα N(p) είναι κάθετο ταυτόχρονα στα εφαπτόμενα επίπεδα TpM και TN(p)S2. Συνεπώς, μπορούμε να ταυτίσουμε TpM~=TN(p)S2 (ισομορφισμός διανυσματικών χώρων). Μέσω αυτής της ταύτισης το διαφορικό dNp : TpM → TN(p)S2 της απεικόνισης N τελικά γράφεται ως dNp : TpM → TpM.

    Το προηγούμενο διαφορικό ουσιαστικά εκφράζει έναν τρόπο μεταβολής του διανύσματος N, άρα κατά κάποιο τρόπο, δίνει μια εικόνα για το σχήμα της επιφάνειας.

Ορισμός 5.2: ΄Εστω M μια κανονική προσανατολισμένη επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M → S2. Ο τελεστής σχήματος (shape operator) της M (απεικόνιση Weingarten) στο p ∈ M είναι η γραμμική απεικόνιση

Sp : TpM → TpM, Sp (Z ) = - dNp (Z),
για κάθε Z ∈ TpM.

Το παρακάτω θεώρημα γενικεύει τον χαρακτηρισμό της ευθείας ως καμπύλης με μηδενική καμπυλότητα στις δύο διαστάσεις: μια συνεκτική επιφάνεια περιέχεται σε επίπεδο εάν και μόνο εάν ο τελεστής σχήματος της επιφάνειας είναι μηδενικός. ϒπενθυμίζουμε ότι ένα ανοικτό υποσύνολο U του επιπέδου είναι συνεκτικό, εάν δεν είναι ένωση μη κενών ανοικτών συνόλων, ξένων μεταξύ τους.

Θεώρημα 5.1: ΄Εστω M μια συνεκτική, προσανατολισμένη επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M → S2. Τότε ο τελεστής σχήματος Sp : TpM → TpM είναι ο μηδενικός τελεστής για κάθε p ∈ M, εάν και μόνο εάν η M είναι τμήμα ενός επιπέδου.

Απόδειξη. Αν η επιφάνεια M περιέχεται σε ένα επίπεδο, τότε η απεικόνιση Gauss είναι σταθερή, επομένως ο τελεστής σχήματος θα είναι ο μηδενικός τελεστής, δηλαδή Sp = -dNp = 0, για κάθε p ∈ M.

Αντίστροφα, σταθεροποιούμε ένα σημείο p ∈ M, έστω q ένα τυχαίο σημείο της M και γ : I → M μια καμπύλη τέτοια ώστε γ(0) = q και γ(1) = p. Τότε η απεικόνιση fq : I → ℝ με τιμή

fq(t) = ⟨q - γ(t),N (γ(t))⟩
ικανοποιεί την σχέση fq(0) = 0 και
f′q(t) = - ⟨γ ′(t),N (γ(t))⟩+ ⟨q - γ(t),dNpγ ′(t)⟩ = 0.
Αυτό σημαίνει ότι ⟨q - γ(t),N(γ(t))⟩ = 0 για κάθε t ∈ I. Επομένως, για t = 1 είναι
⟨(q - p),N (p )⟩ = 0
για κάθε q ∈ M. ΄Αρα η επιφάνεια περιέχεται στο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο p και είναι κάθετη στο διάνυσμα N(p). ▄

Παραδείγματα.
1. ΄Εστω M = S2,N(p) = p. Τότε Sp = -Id : TpS2 → TpS2.

2. ΄Εστω M το επίπεδο Oxy, N(x,y,0) = (0,0,1). Τότε N = σταθερή, άρα Sp = 0 για κάθε p ∈ M.

3. ΄Εστω M = S1 × ℝ ο ορθός μοναδιαίος κύλινδρος, N(x,y,z) = (x,y,0). Θα υπολογίσουμε τον τελεστή σχήματος Sp της M στο τυχαίο p = (x,y,z) ∈ M, βρίσκοντας τον αντίστοιχο πίνακα [Sp] της γραμμικής απεικόνισης Sp (ως προς κατάλληλη επιλογή της βάσης του TpM). Παρατηρούμε κατ′ αρχάς ότι TpM = span{(-y,x,0),(0,0,1)}. Τότε

Sp(0,0,1) = - dNp (0,0,1) = - d-N (x,y,z + t)| dt t=0 = --d(x,y,0)| = (0,0,0). dt t=0
Θα υπολογίσουμε τώρα την τιμή Sp(-y,x,0). ΄Εστω γ(t) = (cos(t + t0),sin(t + t0),z), όπου t0 ∈ ℝ είναι τέτοιο ώστε (cost0,sint0) = (x,y). Τότε για την καμπύλη αυτή ισχύουν ότι
γ(0) = (cost0,sin t0,z ) = (x,y,z) = p γ′(0) = (- sint0,cost0,0 ) = (- y,x,0).
΄Αρα
d Sp(- y,x,0 ) = - dNp (- y, x,0) = --N (cos(t+ t0),sin(t+ t0),z)|t=0 dt = - d-(cos(t + t0),sin(t+ t0),0)|t=0 = (sin t0,- cos t0,0) dt = - (- y,x,0).
Συνεπώς, ο πίνακας του τελεστή σχήματος ως προς τη βάση {(-y,x,0),(0,0,1)} είναι
( ) - 1 0 [Sp] = 0 0 .

Πρόταση 5.1: ΄Εστω M μια κανονική, προσανατολισμένη επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M → S2 και p ∈ M. Τότε ο τελεστής σχήματος είναι αυτοσυζυγής τελεστής ως προς την πρώτη θεμελιώδη μορφή, δηλαδή ισχύει

⟨Sp (Z ),W ⟩ = ⟨Z, Sp(W )⟩,
για κάθε Z,W ∈ TpM.

Απόδειξη. ΄Εστω X : U → M μια τοπική παραμέτρηση της M τέτοια ώστε X(0,0) = p και έστω N : X(U) → S2 η απεικόνιση Gauss στο X(U), η οποία δίνεται ως

N (X (u,v)) = -Xu-(u,v-)×-Xv-(u,-v)-. ∥Xu (u,v )× Xv (u, v)∥
Το διάνυσμα N ∘ X(u,υ) είναι κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο TpM οπότε έιναι
d 0 = --⟨N ∘X, Xu ⟩ = ⟨dNpXv, Xu ⟩+ ⟨N ∘X, Xuv⟩ και dv 0 = -d-⟨N ∘X, Xv ⟩ = ⟨dNpXu, Xv ⟩+ ⟨N ∘X, Xvu⟩. du
Αφαιρώντας τη δεύτερη από την πρώτη εξίσωση και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι Xuυ = Xυu παίρνουμε:
⟨dNpXv, Xu ⟩ = ⟨Xv, dNpXu ⟩.
Η συμμετρικότητα του γραμμικού ενδομορφισμού dNp : TpM → TpM είναι άμεση συνέπεια της τελευταίας σχέσης και των ακόλουθων σχέσεων
⟨dNpXu, Xu⟩ = ⟨Xu, dNpXu ⟩, ⟨dNpXv, Xv⟩ = ⟨Xv, dNpXv ⟩.
Επομένως από τον ορισμό του τελεστή σχήματος έχουμε το ζητούμενο. ▄

Σημείωση. Επειδή ο τελεστής σχήματος Sp είναι αυτοσυζυγής ο πίνακάς του είναι συμμετρικός, άρα είναι διαγωνιοποήσιμος με πραγματικές ιδιοτιμές.

Πόρισμα 5.1: ΄Εστω M κανονική και προσανατολισμένη επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M → S2,p ∈ M. Τότε υπάρχει ορθοκανονική βάση {Z1,Z2} ιδιοδιανυσμάτων της απεικόνισης Sp του εφαπτόμενου χώρου TpM τέτοια ώστε

Sp(Z1 ) = λ1Z1, Sp(Z2 ) = λ2Z2
για κάποιους πραγματικούς αριθμούς λ1,λ2, οι οποίοι είναι οι αντίστοιχες ιδιοτιμές της Sp.

Ορισμός 5.3: ΄Εστω M μια κανονική και προσανατολισμένη επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M → S2,p ∈ M. Η δεύτερη θεμελιώδης μορφή της M στο p είναι η συμμετρική, διγραμμική απεικόνιση

IIp : TpM × TpM → ℝ, IIp(Z,W ) = ⟨Sp(Z ),W ⟩.

΄Οπως και στην περίπτωση της πρώτης θεμελιώδους μορφής, μάς ενδιαφέρει να βρούμε μια τοπική έκφραση της δεύτερης θεμελιώδους μορφής (δηλαδή έκφραση αυτής χρησιμοποιώντας μια τοπική παραμέτρηση της επιφάνειας).

΄Εστω M μια προσανατολισμένη κανονική επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M → S2. ΄Εστω X : U ⊂ ℝ2 → M μια τοπική παραμέτρηση της M τέτοια ώστε X(0) = p ∈ M (είναι πάντα δυνατό να επιλέγουμε την απεικόνιση X με την ιδιότητα αυτή, απλώς κάνουμε μια μεταφορά).

Ως γνωστόν, ο εφαπτόμενος χώρος TpM~=TN(p)S2 παράγεται από τα διανύσματα Xu,Xυ. ΄Εστω

( ) a11 a12 A = a21 a22 ∈ M2 ×2(ℝ)
ο πίνακας του γραμμικού τελεστή Sp : TpM → TpM ως προς τη βάση {Xu,Xυ} (γνωστός και ως πίνακας του Weingarten). Τότε ισχύει
Sp(Xu ) = a11Xu + a21Xv S (X ) = a X + a X . (5.1) p v 12 u 22 v
Επίσης, από τον ορισμό του τελεστή σχήματος είναι Sp = -dNp, όπου dNp : TpM → TN(p)S2. Τότε ισχυριζόμαστε ότι ισχύει
dNp (Xu ) = Nu, dNp (Xv ) = Nv.
(5.2)

(Πράγματι, έστω : I → U η καμπύλη = (t,0) (δηλαδή ο άξονας x) του U ⊂ ℝ2 με (0) = (0,0) και (0) = (1,0) ≡ e1. Τότε η α = X ∘ : I → M είναι μια καμπύλη στην επιφάνεια M, η οποία ικανοποιεί α(0) = X((0)) = X(0,0) = p και α′(0) = X((0)) ⋅(0) = X(0,0)e1 = Xu. Συνεπώς, από τον ορισμό του διαφορικού απεικόνισης μεταξύ επιφανειών έχουμε ότι

d- d- -- dNp (Xu ) = dt(N ∘α )|t=0 = dt(N ∘ X ∘α )|t=0 --′ ∂ = D (N ∘ X )(0,0)α (0) = ∂u(N ∘X )|(0,0) = Nu.
Παρόμοια προκύπτει και η άλλη ισότητα).
Συνεπώς από τις (5.1) και (5.2) προκύπτει το σύστημα
a11Xu + a21Xv = - Nu a12Xu + a22Xv = - Nv, (5.3)
το οποίο σε μορφή πινάκων εκφράζεται ως
A [dX ] = - [dN ],
όπου
[dX ] = (Xu,Xv )t, [dN ] = (Nu, Nv )t.

Ορίζουμε τώρα τις συναρτήσεις e,f,g : U → ℝ από την ισότητα πινάκων

( ) ( ) e f t t E F f g = - [dN ][dX ] = A [dX ][dX ] = A F G .
(5.4)

Ορισμός 5.4: Οι παραπάνω συναρτήσεις e,f,g : U → ℝ ονομάζονται θεμελιώδη ποσά δεύτερης τάξης.

Παραδοσιακά η δεύτερη θεμελιώδης μορφή γράφεται και

II = edu2 + 2fdudv + gdv2,
αλλά δεν δίνουμε περισσότερες εξηγήσεις για το πώς ερμηνεύεται η έκφραση αυτή. Λαμβάνοντας υπόψη την ισότητα (5.4) και το γεγονός ότι N ⊥ span{Xu,Xυ}, προκύπτουν οι χρήσιμες σχέσεις:
[X X X ] [X X X ] e = - ⟨Nu, Xu ⟩ = ⟨N, Xuu ⟩ =--u--v-uu- = √-u--v--uu- ∥Xu × Xv ∥ EG - F2 [XuXvXuv--] [XuXvXuv--]- f = - ⟨Nu, Xv ⟩ = ⟨N, Xvu⟩ = ∥Xu × Xv∥ = √EG----F-2 [X X X ] [X X X ] g = - ⟨Nv, Xv ⟩ = ⟨N, Xvv⟩ =--u--v--vv-= √--u-v--vv-. ∥Xu × Xv ∥ EG - F 2
Παρατηρούμε στους παραπάνω τύπους ότι το εσωτερικό γινόμενο της πρώτης ισότητας περιέχει τις μερικές παραγώγους (πρώτης τάξης) του N και της παραμέτρησης X, ενώ οι τελευταίες σχέσεις περιέχουν τις μερικές παραγώγους (πρώτης και δεύτερης τάξης) μόνο της X. Η προτίμηση για την χρήση της μιας ή της άλλης εκ των παραπάνω σχέσεων εξαρτάται από το πόσο πολύπλοκη είναι η μορφή του N και των Xu,Xυ (οπότε και ο υπολογισμός των αντιστοίχων παραγώγων τους είναι επίσης πολύπλοκος). Επομένως, θα επιλέξουμε τους τύπους εκείνους, που προκύπτουν με την ευκολότερη δυνατή παραγώγιση.

Οι θεμελιώδης μορφές προσδιορίζουν τοπικά την επιφάνεια. Πιο συγκεκριμένα ισχύει το θεμελιώδες θεώρημα των επιφανειών, σύμφωνα με το οποίο αν δίνονται τρείς συναρτήσεις E,F,G τάξης τουλάχιστον C3 και τρείς συναρτήσεις e,f,g τάξης τουλάχιστον C1, με πεδίο ορισμού ένα ανοικτό U υποσύνολο του ℝ2, έτσι ώστε να ισχύουν

τότε υπάρχει παραμέτρηση X : U → X(U) με X τάξης τουλάχιστον C3, τέτοια ώστε τα E,F,G e,f,g να είναι τα θεμελιώδη ποσά πρώτης και δεύτερης τάξης αντιστοίχως, που ορίζονται από τη X. Η εικόνα X(U) είναι μονοσήμαντα ορισμένη, εκτός από τη θέση της στο χώρο.

΄Ενα από τα θεμελιώδη ερωτήματα της διαφορικής γεωμετρίας είναι με ποιόν τρόπο μπορούμε να μετρήσουμε την καμπυλότητα μιας επιφάνειας. Μια σημαντική παρατήρηση είναι ότι η καμπυλότητα μιας επιφάνειας (με όποιον τρόπο και αν αυτή οριστεί) δεν είναι σταθερή προς όλες τις διευθύνσεις. Για παράδειγμα, ο κυκλικός κύλινδρος ακτίνας r δεν καμπυλώνεται κατά τη διεύθυνση μιας γεννέτειρας, αλλά καμπυλώνεται κατά τη διεύθυνση των εφαπτομένων στις παράλληλες τομές του. Συνεπώς, είναι λογικό να πούμε ότι η καμπυλότητα του κυλίνδρου είναι μηδέν κατά τη διεύθυνση των γεννητόρων του, ενώ στη διεύθυνση των παραλλήλων τομών η καμπυλότητα ισούται με αυτή των ίδιων των τομών, δηλαδή 1∕r.


Σχήμα 5.3: Η καμπυλότητα του κυλίνδρου.

΄Αρα λοιπόν, ένας τρόπος μέτρησης της καμπυλότητας μιας επιφάνειας, είναι το να μελετηθούν κατάλληλες καμπύλες επί της επιφάνειας. Θα προσπαθήσουμε να κάνουμε την παραπάνω ιδέα πιο συγκεκριμένη.

΄Εστω M μια προσανατολισμένη κανονική επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M → S2 και έστω γ : I → M μια καμπύλη με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου τέτοια, ώστε γ(0) = p, γ′(0) = Z ∈ TpM. Αναλύουμε τη δεύτερη παράγωγο �γ(0) στο p ως εξής:

�γ (0) = �γ(0)tan + �γ(0)norm,
όπου �γ(0)tan ∈ TpM είναι η εφαπτομενική συνιστώσα και �γ(0)norm ∈(TpM)⊥ η κάθετη συνιστώσα .

Σχήμα 5.4: Η εφαπτομενική και η κάθετη συνιστώσα.

Το κάθετο διάνυσμα N(γ(s)) κατά μήκος της καμπύλης γ είναι κάθετο στην εφαπτομένη ˙γ(s), συνεπώς για την κάθετη συνιστώσα του διανύσματος �γ(0) ισχύει ότι

�γ(0)norm = ⟨�γ (0),N (p)⟩N(p) = - ⟨˙γ(0),dN (p)γ˙(0 )⟩N (p) = - ⟨Z,dN (p)Z ⟩N (p),
το οποίο σημαίνει ότι η κάθετη συνοστώσα �γ(0)norm του διανύσματος �γ(0) καθορίζεται πλήρως από την τιμή γ˙(0) και τις τιμές της απεικόνισης Gauss κατά μήκος οποιασδήποτε καμπύλης, που διέρχεται από το σημείο p, και με εφαπτόμενο διάνυσμα γ˙(0) = Z ∈ TpM. ΄Αρα ο ορισμός που δίνουμε στη συνέχεια είναι καλός.

Ορισμός 5.5: ΄Εστω M μια προσανατολισμένη κανονική επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M → S2,p ∈ M και Z ∈ TpM. Η κάθετη καμπυλότητα (normal curvature) κp(Z) της M στο p ως προς τη διεύθυνση του διανύσματος Z είναι ο αριθμός

κn (Z) = ⟨�γ(0),N (p)⟩,
όπου γ : I → M οποιδήποτε λεία καμπύλη με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου με γ(0) = p,γ′(0) = Z.

Προκειμένου να δώσουμε μια γεωμετρική περιγραφή της κάθετης καμπυλότητας, εργαζόμαστε ως εξής: Ως καμπύλη στον χώρο ℝ3 η γ έχει καμπυλότητα κ(s) και κάθετο διάνυσμα Ñ(s) = �γ(s) κ(s), συνεπώς �γ(0) = κ(0)Ñ(0). Το διάνυσμα Ñ(0) αναλύεται ως

tan norm N˜(0) = N˜(0) + ˜N (0 ) = N˜(0)tan + ⟨ ˜N(0),N (p)⟩N (p),
άρα
�γ (0) = κ(0) ˜N (0) = κ(0)N˜(0)tan + κ(0)⟨N ˜(0),N (p)⟩N (p).
Ο πρώτος όρος της σχέσης αυτής σχετίζεται με τη γεωδαισιακή καμπυλότητα (η έννοια αυτή θα ορισθεί σε επόμενο κεφάλαιο) της καμπύλης γ, ενώ για τον δεύτερο όρο ισχύει
κn (Z ) = ⟨�γ (0),N (p)⟩ = κ (0)⟨N˜(0),N (p)⟩.
(Αν κ(0) = 0, τότε κp(Z) = 0). Αν θ είναι η γωνία των διανυσμάτων N(p) και Ñ(0) τότε
κn(Z) = κ(0)cosθ.

Σχήμα 5.5: Η κάθετη καμπυλότητα.

Επιπλέον, ισχύει |κp(Z)|≤ κ(0). Είναι λοιπόν σαφές ότι η κάθετη καμπυλότητα καθορίζει την "κύρτωση" της επιφάνειας, οπότε αναμένεται να σχετίζεται με τον τελεστή σχήματος, όπως φαίνεται στην παρακάτω πρόταση:

Πρόταση 5.2: (Θεώρημα Meusnier)
΄Εστω M μια προσανατολισμένη κανονική επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M → S2,p ∈ M και Z ∈ TpM. Τότε η κάθετη καμπυλότητα της M στο p ως προς τη διεύθυνση του διανύσματος Z ικανοποιεί τη σχέση

κn (Z) = ⟨Sp(Z),Z⟩ = IIp(Z,Z ).

Απόδειξη. ΄Εστω γ μια καμπύλη με παράμετρο το μήκος τόξου, τέτοια ώστε γ(0) = p και ˙γ(0) = Z. Κατά μήκος της καμπύλης αυτής το διάνυσμα N(γ(s)) είναι κάθετο στο εφαπτόμενο διάνυσμα γ˙(s), δηλαδή έχουμε

d 0 = --(⟨γ˙(s),N (γ(s))⟩) = ⟨�γ(s),N (γ(s))⟩+ ⟨˙γ(s),dN (γ (s))˙γ(s)⟩. ds
Επομένως, θα είναι
κn(Z ) = ⟨�γ(0),N (p)⟩ = - ⟨Z, dNpZ ⟩ = ⟨Sp (Z ),Z⟩ = IIp(Z).
▄

Θεωρούμε τώρα μια κανονική, προσανατολισμένη επιφάνεια M με απεικόνιση Gauss N : M → S2 και έστω

1 TpM = {Z ∈ TpM : ∥Z ∥ = 1}
ο μοναδιαίος κύκλος στον εφαπτόμενο χώρο TpM. Επειδή ο κύκλος Tp1M είναι συμπαγής, η συνεχής συνάρτηση
1 ˜κn : TpM → ℝ, ˜κn(Z ) = κn (Z )
παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. ΄Αρα υπάρχουν δύο διευθύνσεις Z1,Z2 ∈ Tp1M τέτοιες ώστε
κ1 (p) ≡ ˜κn(Z1) = maxZ ∈T1pM ˜κn(Z ), κ2 (p) ≡ ˜κn(Z2) = minZ ∈T1pM ˜κn(Z).
Οι διευθύνσεις Z1,Z2 ονομάζονται κύριες διευθύνσεις (principal directions) στο p και οι τιμές κ1(p),κ2(p) κύριες καμπυλότητες (principal curvatures) της M στο p. Εάν κ1(p) = κ2(p) το σημείο p ονομάζεται ομφαλικό (umbilic). Το παρακάτω θεώρημα δίνει έναν ιδιαιτέρως χρήσιμο αλγεβρικό χαρακτηρισμό των κύριων διευθύνσεων.

Θεώρημα 5.2: ΄Εστω M μια προσανατολισμένη κανονική επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M → S2 και έστω p ∈ M. Τότε το διάνυσμα Z ∈ Tp1M είναι μια κύρια διεύθυνση στο p εάν και μόνο εάν το Z είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του τελεστή σχήματος Sp : TpM → TpM.

Απόδειξη. ΄Εστω {Z1,Z2} μια ορθοκανονική βάση του TpM από ιδιοδιανύσματα του Sp, δηλαδή

Sp (Z1 ) = λ1Z1, Sp (Z2 ) = λ2Z2, (λ1,λ2 ∈ ℝ).
Κάθε μοναδιαίο διάνυσμα Z ∈ Tp1M γράφεται ως Z(θ) = cosθZ1 + sinθZ2 και με υπολογισμό προκύπτει ότι
κn(Z(θ)) = ⟨Sp(cosθZ1 + sinθZ2),cosθZ1 + sinθZ2⟩ = cos2θ⟨Sp(Z1 ),Z1 ⟩+ sin2 θ⟨Sp(Z2),Z2⟩+ cosθ sin θ(⟨Sp (Z1 ),Z2⟩+ ⟨Sp(Z2),Z1⟩) 2 2 = λ1 cos θ + λ2 sin θ.
Από την παραπάνω έκφραση προκύπτει ότι οι αριθμοί λ1,λ2 αποτελούν τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης κn(Z(θ)) = IIp(Z(θ),Z(θ)). Συνεπώς θα είναι λ1 = κ1,λ2 = κ2, άρα τελικά
2 2 κn (Z ) = κ1cos θ + κ2sin θ,
όπου κ1,κ2 οι κύριες καμπυλότητες της M στο p. Από την παραπάνω σχέση, γνωστή και ως τύπος του Euler,1 προκύπτει ουσιαστικά το αποτέλεσμα. ▄

Συμπερασματικά, οι κύριες καμπυλότητες κ1,κ2 της M στο p είναι οι ιδιοτιμές του τελεστή σχήματος Sp : TpM → TpM, ο οποίος, όπως δείξαμε, είναι αυτοσυζυγής. Συνεπώς απο τη γραμμική άλγεβρα γνωρίζουμε ότι υπάρχει μια ορθοκανονική βάση απο ιδιοδιανύσματα {Z1,Z2} του TpM, ώστε ο πίνακας του τελεστή Sp ως προς αυτή τη βάση να είναι διαγώνιος, δηλαδή

( ) [Sp] = κ1 0 . 0 κ2
Ο επόμενος σημαντικός ορισμός προκύπτει τώρα φυσιολογικά από τα προηγούμενα.

Ορισμός 5.6: ΄Εστω M προσανατολισμένη κανονική επιφάνεια του ℝ3 με απεικόνιση Gauss N : M → S2. Η καμπυλότητα Gauss (Gauss curvature) K και η μέση καμπυλότητα (mean curvature) H της M είναι οι συναρτήσεις

K : M → ℝ, H : M → ℝ 1 1 K (p) = det[Sp] = κ1κ2, H (p) = 2tr[Sp ] = 2(κ1 + κ2).

Μια επιφάνεια M ονομάζεται επίπεδη (flat), εάν K(p) = 0 για κάθε p ∈ M, και ελαχιστική (ή ελάχιστης έκτασης) (minimal), εάν H(p) = 0 για κάθε p ∈ M. (ϒπάρχει εξήγηση για τον όρο ελάχιστης έκτασης, αλλά δεν θα μας απασχολήσει αυτή την στιγμή).

Παράδειγμα 5.1: Στο παράδειγμα αυτό θα δείξουμε ότι για τυχαία επιφάνεια ισχύει η σχέση

2 H ≥ K,
όπου H,K η μέση καμπυλότητα και η καμπυλότητα Gauss αντίστοιχα και ότι η ισότητα ισχύει μόνο για τα ομφαλικά σημεία αυτής.

Γνωρίζουμε ότι

K = κ1κ2, H = 1(κ1 + κ2) 2
όπου κ1,κ2 είναι οι κύριες καμπυλότητες της επιφάνειας σε τυχαίο σημείο αυτής. Τότε έχουμε ότι
(κ1 - κ2 )2 ≥ 0 ⇔ κ2 - 2κ1κ2 + κ2≥ 0 ⇔ κ2 + 2κ1κ2 + κ2 ≥ 4κ1κ2 1 ( 2 )2 1 2 ⇔ (κ + κ )2 ≥ 4κ κ ⇔ 1(κ + κ ) ≥ κ κ 1 2 1 2 2 1 1 1 2 ⇔ H2 ≥ K.
Αν είναι H2 = K, τότε προφανώς θα έχουμε κ1 = κ2 και αν λάβουμε υπόψη μας και τον τύπο του Euler, θα έχουμε
κ (Z) = κ cos2 θ + κ sin2θ = κ , n 1 1 1
οπότε θα έχουμε κn(Z) = κ1 = κ2, δηλαδή το σημείο p είναι πράγματι ένα ομφαλικό σημείο της επιφάνειας (Z ∈ Tp1M).

Ορισμός 5.7: ΄Ενα σημείο p ∈ M μιας κανονικής επιφάνειας του ℝ3 ονομάζεται

5.1 Παράλληλες επιφάνειες

Ορισμός 5.8: Παράλληλη επιφάνεια της επιφάνειας M ονομάζεται η επιφάνεια M* η οποία παράγεται από την κίνηση κάθε σημείου της M κατά μήκος της καθέτου της M στο σημείο αυτό και σε σταθερή απόσταση α, α ∈ ℝ \{0}.

Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, μια παραμετρική εξίσωση της παράλληλης επιφάνειας θα είναι

* X (u,v) = X (u,v )+ αN (u,v).

Πρόταση 5.3: Οι παράλληλες επιφάνειες M και M* έχουν στα αντίστοιχα σημεία τους, κάθετα διανύσματα τα οποία είτε ταυτίζονται, αν είναι ομόρροπα, είτε είναι αντίρροπα

Απόδειξη. ΄Εστω X : U → M μια παραμέτρηση της M. Τότε η X* = X(u,υ) + αN(u,υ) (α = ≠0) θα είναι η παραμέτρηση της M*. Από την σχέση αυτή παραγωγίζοντας ως προς u,υ έχουμε

Xu*= Xu + αNu, Xv*= Xv + αNv.
Παίρνοντας το εξωτερικό γινόμενο των παραπάνω σχέσεων παίρνουμε ότι
X *× X* = (X + αN )× (X + αN ) u v u u v v = Xu × Xv + α (Xu × Nv + Nu × Xv )+ α2(Nu × Nv).
Η σχέση αυτή, αν ληφθούν υπόψη οι σχέσεις του Παραδείγματος 5.8 της τελευταίας ενότητας του κεφαλαίου, γράφεται ως εξής
X*u × X *v = Xu × Xv + α(- 2H (Xu × Xv))+ α2K (Xu × Xv) 2 = (1- 2αH + α K )Xu × Xv.
Επειδή όμως είναι Xu × Xυ = √--------- EG - F 2N, θα πάρουμε τελικά ότι
∘ --------- X *u × Xv*= (1 - 2αH + α2K ) EG - F 2N.
Συνεπώς, το κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια M* ταυτίζεται με το κάθετο διάνυσμα ή με το αντίθετο του κάθετου διανύσματος της M στα αντίστοιχα σημεία. Ακριβέστερα, το κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια M* ταυτίζεται με το διάνυσμα ϵN όπου
2 ϵ = sgn (1- 2αH + α K )
και το σύμβολο sgn σημαίνει το πρόσημο της παράστασης που ακολουθεί. ▄

Από την παραπάνω πρόταση συμπεραίνουμε πως οι παράλληλες επιφάνειες έχουν στα αντίστοιχα σημεία τους εφαπτόμενα επίπεδα παράλληλα. Για το λόγο αυτό η επιφάνεια M* λέγεται και παράλληλη επιφάνεια της M σε απόσταση |α |.

΄ϒστερα από τις παραπάνω διαπιστώσεις, για τις παράλληλες επιφάνειες, είναι φυσικό να αναρωτηθεί κανείς αν υπάρχουν σχέσεις που να συνδέουν τα θεμελιώδη μεγέθη των επιφανειών αυτών. Στη συνέχεια συμβολίζουμε με αστερίσκο τα θεμελιώδη ποσά της επιφάνειας M*.

Ισχύει η ακόλουθη πρόταση:

Πρόταση 5.4: Αν M και M* είναι δύο παράλληλες επιφάνειες τότε

Τα ακόλουθα ενδιαφέροντα θεωρήματα οφείλονται στον Bonnet2:

Θεώρημα 5.3: (Bonnet) Αν η καμπυλότητα Gauss K της επιφάνειας M είναι σταθερή και θετική, τότε υπάρχουν δύο παράλληλες επιφάνειες της M εκ των οποίων η μέση καμπυλότητα της μιας ισούται με √-- K∕2 και της άλλης με -√K--∕2.

Απόδειξη. Σύμφωνα με την υπόθεση είναι K > 0 και η καμπυλότητα αυτή είναι σταθερή. Γνωρίζουμε ότι η μέση καμπυλότητα της επιφάνειας M* παραλλήλου της M σε απόσταση α δίνεται από την σχέση

* ---H---αK------ H = 1- 2αH + α2K .
(5.5)

Ας θεωρήσουμε την επιφάνεια M1* που βρίσκεται σε απόσταση

1 α = √--- > 0. K
(5.6)

Τότε η σχέση (5.5) γίνεται

K√-- √-- √ -- √-- √ -- H *= ----H-----K------= H-----K--= - --K√(-K----H-)= ---K-, 1 1- 2H √1--+ K1K 2- 2√H- 2( K - H) 2 K K
δηλαδή
√ -- K H *1 = - ----. 2
Δείξαμε λοιπόν ότι υπάρχει επιφάνεια M1* παράλληλη της M της οποίας η μέση καμπυλότητα ισούται με -√ -- K∕2.

Ας θεωρήσουμε τώρα την επιφάνεια M2* που βρίσκεται σε απόσταση

α = - √1--< 0 K
από την επιφάνεια M. Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι τα διανύσματα N και N* είναι αντίρροπα. Στην περίπτωση αυτήν η σχέση (5.5) γίνεται
H + √K- H + √K-- √K-- H *2 = --------1--K--1--- = ------H---= ----, 1 + 2H √K- + √K-K 2(1+ √K-) 2
δηλαδή
√ -- * --K- H 2 = 2 .
Δείξαμε και εδώ ότι υπάρχει επιφάνεια M2* παράλληλη της M και συμμετρική της M1*, της οποίας η μέση καμπυλότητα ισούται με √-- K∕2. ▄

Αντίστοιχα για τις καμπυλότητες Gauss εύκολα έχουμε (αποδείξτε το)

√ -- √ -- K1*= -√K---K----< 0 και K *2 = -√K---K----> 0. 2( K - H ) 2( K + H )

Θεώρημα 5.4: Αν η μέση καμπυλότητα H μιας επιφάνειας M είναι σταθερή και μη μηδενική, τότε υπάρχει παράλληλη επιφάνεια M* της M με σταθερή καμπυλότητα Gauss ίση με 4H2.

Απόδειξη. Γνωρίζουμε ότι αν M* είναι μια παράλληλη επιφάνεια της M σε απόσταση α, τότε η καμπυλότητα Gauss της M* δίνεται από την σχέση

* ------K-------- K = 1- 2αH + α2K .
(5.7)

Θεωρούμε την επιφάνεια M* που βρίσκεται σε απόσταση

1 α = --- ⁄= 0 2H
(5.8)

από τη M. Τότε η σχέση (5.7) γράφεται

K K * = -------1-----1----= 4H2, 1- 2H 2H + 4H2K
δηλαδή
K * = 4H *.
Δείξαμε λοιπόν ότι υπάρχει επιφάνεια M* παράλληλη της M της οποίας η καμπυλότητα Gauss είναι σταθερή και ίση με 4H2. ▄

Η καμπυλότητα Gauss, η πιο σημαντική έννοια του παρόντος μαθήματος, δεν είχε οριστεί ιστορικά από τον Gauss με τον τρόπο που δώσαμε (ο οποίος είναι ιδιαιτέρως λειτουργικός). Η πραγματική γεωμετρική ερμηνεία της καμπυλότητας από τον Gauss περιγράφεται από την παρακάτω πρόταση:

Πρόταση 5.5: ΄Εστω M μια προσανατολισμένη κανονική επιφάνεια του ℝ3 με καμπυλότητα Gauss K(p)≠0 σε ένα σημείο της p ∈ M. ΄Εστω V η συνεκτική περιοχή του σημείου p όπου η καμπυλότητα K δεν αλλάζει πρόσημο. Τότε

A′ |K (p)| = limA →0 --, A
όπου A είναι το εμβαδόν μιας περιοχής B ⊂ V με p ∈ B και A′ το εμβαδόν της εικόνας της B μέσω της απεικόνισης Gauss N : M → S2.
Το όριο λαμβάνεται για μια ακολουθία περιοχών {Bn} η οποία συγκλίνει στο p υπό την έννοια ότι για μεγάλο n κάθε σφαίρα με κέντρο το p περιέχει όλα τα Bn.

Θα εκφράσουμε τώρα την καμπυλότητα Gauss και τη μέση καμπυλότητα συναρτήσει των θεμελιωδών ποσών πρώτης και δεύτερης τάξης, χρησιμοποιώντας μια τοπική παραμέτρηση X : U → M της επιφάνειας M.

Θυμίζουμε ότι τα παραπάνω συνδέονται με την σχέση

( ) ( ) e f E F f g = A F G ,
όπου A είναι ο πίνακας του τελεστή σχήματος Sp : TpM → TpM ως προς τη βάση {Xu,Xυ}. Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι
( ) ( ) ( ) ( ) e f E F - 1 1 e f G - F A = = EG---F-2- . f g F G f g - F E
Επειδή η καμπυλότητα Gauss και η μέση καμπυλότητα ισούνται με την ορίζουσα και το ίχνος αντίστοιχα του πίνακα A, τότε προκύπτουν οι εκφράσεις:
( ) ( ( ) ) e f E F -1 K = det(A) = det det( ) f g F G ( ) det e f f g eg - f2 = ---(------)- = EG----F-2 det E F F G
και
H = 1tr(A ) = 1-eG---2fF-+-gE-. 2 2 EG - F2
Επιπλέον, οι κύριες καμπυλότητες κ1,κ2 προκύπτουν ως οι ρίζες της εξίσωσης
det(A - κI ) = 0.

Αφού είναι γνωστή η μορφή των αij, μπορούμε να επανέλθουμε στο σύστημα (5.3) από το οποίο θα πάρουμε τις σχέσεις

- Nu = α11Xu + α21Xv = f-F---eG-Xu + eF----fE-Xv EG - F 2 EG - F 2 - N = α X + α X = gF---f-G-X + f-F---gE-X v 12 u 22 v EG - F 2 u EG - F 2 v
Οι τελευταίες είναι γνωστές ως εξισώσεις του Weingarten3.

Αξίζει να σημειώσουμε εδώ ότι, αν είναι γνωστές οι K και H, οι κύριες καμπυλότητες μπορούν να υπολογιστούν ως οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης

x2 - 2Hx + K = 0.

Παράδειγμα 5.2: ΄Εστω γ = (r,0,z) : I → ℝ3 μια λεία καμπύλη (με παράμετρο το μήκος τόξου) στο επίπεδο Oxz με r(u) > 0 και ṙ(u)2 + ż(u)2 = 1 για κάθε su ∈ I. Τότε η απεικόνιση X : I × ℝ → ℝ3 με τιμή

( cosv - sinv 0 ) ( r(u) ) ( r(u )cosv ) | | | | | | X (u,v) = ( sinv cosv 0 ) ( 0 ) = ( r(u )sin v ) 0 0 1 z(u) z(u)
είναι μια παραμέτρηση μιας κανονικής επιφάνειας εκ περιστροφής (surface of revolution) M (περί τον άξονα z). Τα γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα
( ) ( ) r˙(u)cos v - r(u)sin v Xu = |( r˙(u) sinv |) , Xv = |( r(u)cosv |) z˙(u ) 0
καθορίζουν μια (τοπική) απεικόνιση Gauss
( ) ( ) ( ) cosv - sinv 0 - ˙z(u) - ˙z(u)cosv N (u,v) = |( sinv cosv 0 |) |( 0 |) = |( - ˙z(u)sin v |) . 0 0 1 ˙r(u) ˙r(u)
Ελέξτε ότι ⟨Xu,N⟩ = ⟨Xυ,N⟩ = 0. Επιπλέον, έχουμε ότι
( ) t ˙r(u)cosv ˙r(u)sinv ˙z(u) [dX ] = (Xu, Xv) = - r(u)sin v r(u)cosv 0 ,
άρα
( ) ( ) E F = [dX ][dX ]t = 1 0 F G 0 r(u)2
και ότι
( ) ( ) e f t - �r(u)˙z(u)+ �z(u)˙r(u) 0 f g = - [dN ][dX ]= 0 ˙z(u)r(u ) .
Επειδή η καμπύλη γ = (r,0,z) έχει παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου λαμβάνουμε ότι (μετά από προσεκτικές πράξεις)
2 K = -eg --f--= - �r(u). (⋆) EG - F2 r(u)

Θα κάνουμε μια διερεύνηση της παραπάνω έκφρασης της καμπυλότητας. Ας πάρουμε την περίπτωση όπου η επιφάνεια M είναι η μοναδιαία σφαίρα S2, άρα r(u) = cosu,z(u) = sinu και έστω ότι -π∕2 < u < π∕2. Τότε E = 1,F = 0,G = cos2u και e = 1,f = 0,g = cos2u, άρα

cos2u K = cos2u-= 1 = κ1κ2, 1 cos2u+ cos2 u 1 H = --------2-------= 1 = -(κ1 + κ2), 2 cos u 2
άρα για τις κύριες καμπυλότητες ισχύει κ1 = κ2 = 1. Αν η επιφάνεια είναι ο μοναδιαίος κύλινδρος r(u) = 1,z(u) = u, τότε E = 1,F = 0,G = 1 και e = f = 0,g = 1, συνεπώς K = 0 και H = 1- 2.

Ερχόμαστε πάλι στην γενική εξίσωση (⋆) και την γράφουμε ισοδύναμα ως τη διαφορική εξίσωση

�r(s)+ K (s)r(s) = 0.
Λύνοντας την εξίσωση αυτή για K = -1 (σταθερά αρνητική καμπυλότητα Gauss) προκύπτει η γενική λύση
s -s r(s) = αe + be , (α, b ∈ ℝ ).
Για α = 0,b = 1 παίρνουμε r(s) = e-s και z(s) = ∫ 0s∘ -------- 1 - e-2tdt. Για τις επιλογές αυτές των συναρτήσεων r,z : ℝ+ → ℝ παίρνουμε την παραμέτρηση ˜ X : ℝ+ × ℝ → M της ψευδοσφαίρας (είναι μια συμπαγής επιφάνεια με σταθερή καμπυλότητα Gauss K = -1).

Σχήμα 5.6: Η ψευδόσφαιρα.

Η αντίστοιχη πρώτη θεμελιώδης μορφή είναι

( ˜E F˜ ) ( 1 0 ) = [dX˜][dX˜]t = 2s . ˜F G˜ 0 e
Εισάγουμε μια νέα μεταβλητή u > 0 μέσω της s(u) = -lnu, οπότε λαμβάνουμε μια νέα παραμέτρηση X : ℝ+ × ℝ → M της ψευδοσφαίρας όπου X(u,υ) = X˜(s(u),υ). Από τον κανόνα αλυσίδας είναι Xu = suX˜s = -1- u˜Xs, οπότε παίρνουμε την πρώτη θεμελιώδη μορφή της παραμέτρησης X
( ) ( ) E F t 1 1 0 = [dX ][dX ] = u2- . F G 0 1
Με τον τρόπο αυτό επάγεται η μετρική (τοπική ισομετρία)
ds2 = -1(du2 + dv2) u2
στο άνω ημιεπίπεδο ℍ2 = {(υ,u) ∈ ℝ2 : u > 0}. Το ζεύγος (ℍ2,ds2) ονομάζεται υπερβολικός χώρος (hyperbolic space) και η μετρική ds2 υπερβολική μετρική. Ο υπερβολικός χώρος αποτελεί ένα μοντέλο μη Ευκλείδειας γεωμετρίας (δηλαδή μιας γεωμετρίας όπου δεν ισχύει το πέμπτο αίτημα (των παραλλήλων) του Ευκλείδη).

Κλείνουμε το κεφάλαιο αυτό με δύο ενδιαφέροντα αποτελέσματα ῾ὁλικού᾿᾿ χαρακτήρα για μια επιφάνεια M. Πρώτα θυμίζουμε το παρακάτω λήμμα από τον λογισμό συναρτήσεων πολλών μεταβλητών

Λήμμα 5.1: ΄Εστω U ανοικτό και συνεκτικό υποσύνολο του επιπέδου. Αν f : U → ℝ2 είναι μια λεία απεικόνιση τέτοια ώστε fx = fy = 0, τότε η f είναι η σταθερή απεικόνιση.

Θεώρημα 5.5: ΄Εστω M μια συνεκτική προσανατολισμένη κανονική επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M → S2. Εάν κάθε σημείο p ∈ M είναι ομφαλικό, τότε η M είναι τμήμα είτε ενός επιπέδου είτε μιας σφαίρας.

Απόδειξη. ΄Εστω X : U → M μια παραμέτρηση της επιφάνειας M με το U να είναι συνεκτικό υποσύνολο του ℝ2. Επειδή κάθε σημείο του τμήματος της επιφάνειας X(U) είναι ομφαλικό, υπάρχει μια λεία απεικόνιση f : U → ℝ τέτοια ώστε ο τελεστής σχήματος να δίνεται ως

Sp : TpM → TpM (aXu + bXv) ↦→ f(u,v)(aXu + bXv ),
οπότε έχουμε ότι
(N ∘X )u = - fXu και (N ∘ X )v = - fXv.
Ειδικότερα, είναι
0 = (N ∘X )uv - (N ∘ X )vu = (- fX ) - (- fX ) u v vu = - fvXu - f Xuv + fuXv + fXvu = - fvXu + fuXv.
Τα διανύσματα Xu και Xυ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, οπότε θα είναι fu = fυ = 0. Επειδή το πεδίο ορισμού U της f είναι συνεκτικό, η f είναι σταθερή στο U και άρα σε όλη την επιφάνεια M, αφού η M είναι συνεκτική.

Αν f = 0, τότε ο τελεστής σχήματος είναι ο μηδενικός τελεστής, οπότε από Θεώρημα 5.1 η επιφάνεια περιέχεται σε ένα επίπεδο.

Αν f≠0, τότε ορίζουμε Y : U → ℝ3 με τιμή

Y(u,v) = X (u,v)+ 1-N (u,v). f
Τότε
1 1 dY = dX + -dN = dX - -fdX = 0, f f
άρα η Y είναι σταθερή και ∥X -Y ∥2 = -1- f 2. Αυτό σημαίνει ότι το τμήμα της επιφάνειας X(U) περιέχεται σε μια σφαίρα με κέντρο το Y και ακτίνα 1- f. Επειδή η M είναι συνεκτική, όλη η επιφάνεια θα περιέχεται στην ίδια σφαίρα. ▄

Θεώρημα 5.6: ΄Εστω M μια συμπαγής κανονική επιφάνεια. Τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο p ∈ M με θετική καμπυλότητα Gauss K(p).

Απόδειξη. Θεωρούμε τη συνάρτηση f : M → ℝ με τύπο f(p) = ∥p∥2. Η f είναι συνεχής και επειδή η επιφάνεια M είναι συμπαγής, τότε θα λαμβάνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. ΄Εστω p0 το σημείο της M, όπου η f λαμβάνει τη μέγιστη τιμή. Επειδή f(p0) = ∥p0∥2, το σημείο p0 ∈ M έχει τη μέγιστη απόσταση από την αρχή τον αξόνων. ΄Εστω r = ∥p0∥. Τότε η M περιέχεται σε μια σφαίρα Sr2 ακτίνας r.
Ισχυρισμός. K(p0) ≥1- r2.

΄Εστω Z ∈ Tp0M και γ : I → M καμπύλη στην επιφάνεια M με γ(0) = p0 και γ′(0) = Z. Τότε η σύνθεση f ∘ γ : I → ℝ λαμβάνει και αυτή μέγιστη τιμή για t = 0. Συνεπώς θα έχουμε

d d2 --(f ∘ γ)|t=0 = 0, --2(f ∘γ )|t=0 ≤ 0. dt dt
Επίσης, ισχύει
f ∘γ (t) = ∥γ (t)∥2 = ⟨γ(t),γ(t)⟩, άρα d --(f ∘γ(t))|t=0 = 2⟨γ(t),γ′(t)⟩t=0 ⇒ 0 = 2 ⟨γ (0),γ′(0)⟩ = 2⟨p0,Z⟩. dt
΄Αρα ⟨p0,Z⟩ = 0 για κάθε Z ∈ Tp0M μοναδιαίο, συνεπώς, p0 ⊥ Tp0M. Επιπλέον, έχουμε ότι
2 d--(f ∘ γ(t))| = 2⟨γ′(t),γ′(t)⟩t=0 + ⟨γ(t),γ ′′(t)⟩t=0 ⇒ dt2 t=0 -d2 ′ ′ ′′ 0 ≥ dt2(f ∘γ(t))|t=0 = 2⟨γ(0),γ (0)⟩ + 2⟨γ(0),γ (0)⟩ = 2⟨Z,Z ⟩+ 2⟨p ,γ′′(0)⟩ = 2+ 2⟨p ,γ′′(0)⟩ ⇒ - 1 ≥ ⟨p ,γ′′(0)⟩. 0 o 0
ϒπολογίζουμε τώρα τις κύριες καμπυλότητες της M στο σημείο p0. Επειδή το p0 -- r = 1 ----- ∥p0∥p0 είναι μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στη M, υπολογίζουμε πρώτα την κάθετη καμπυλότητα ως
κp0(Z ) = ⟨N (p0),γ ′′(0)⟩ = ⟨p0,γ′′(0)⟩ ≤ - 1-. r r
Ειδικότερα, οι κύριες καμπυλότητες κ1,κ2 είναι μικρότερες από -1 -- r. ΄Αρα για την καμπυλότητα Gauss στο σημειο p0 θα έχουμε ότι
1 1 1 K (p0) = κ1 (p0)κ2(p0) ≥--⋅--= -2 > 0. r r r
▄

Πόρισμα 5.2: Δεν υπάρχουν συμπαγείς επιφάνειες στον ℝ3 με K ≤ 0. Ειδικότερα, δεν υπάρχουν συμπαγείς επιφάνειες του ℝ3 ελάχιστης έκτασης.

Το παρακάτω θεώρημα αποτελεί ένα σημαντικό αποτέλεσμα της ολικής διαφορικής γεωμετρίας.

Θεώρημα 5.7: (Liebmann) ΄Εστω M συμπαγής επιφάνεια με σταθερή καμπυλότητα Gauss K. Τότε η M είναι μια σφαίρα ακτίνας √1-- K.

5.2 Λυμένα παραδείγματα.

Παράδειγμα 5.3: Δείξτε ότι το παραβολοειδές z = x2 + y2 είναι μια προσανατολισμένη επιφάνεια

Λύση

Μια παραμέτρηση του παραβολοειδούς είναι η X(u,υ) = (u,υ,u2 + υ2). Θεωρούμε το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα που παίρνουμε από την παραμέτρηση
-Xu-(u,v)×-Xv-(u,v)- -------1------- N(u,v) = ∥Xu (u,v)× Xv (u,v)∥ = √1-+--4u2 +-4v2-(- 2u,- 2v,1).
Το N είναι μοναδιαίο, λείο κάθετο διανυσματικό πεδίο του παραβολοειδούς, επομένως το παραβολοειδές είναι προσανατολισμένη επιφάνεια.

Παράδειγμα 5.4: Δίνεται η επιφάνεια του Enneper M με παραμέτρηση X : ℝ × ℝ+ → ℝ3

u3 v3 X (u,v) = (u- --+ uv2,v --- + vu2,u2 - v2). 3 3
Σημειώνουμε ότι η επιφάνεια αυτή έχει αυτοτομές (κάντε γράφημα με Mathematica) και η παραπάνω παραμέτρηση αποτελεί τον μοναδικό χάρτη της. Βρείτε τα θεμελιώδη ποσά πρώτης και δεύτερης τάξης, την απεικόνιση Gauss, τον τελεστή σχήματος την καμπυλότητα Gauss, τη μέση καμπυλότητα και τις κύριες καμπυλότητες.

Λύση

Είναι Xu = (1 - u2 + υ2,2uυ,2u), Xυ = (2uυ,1 - υ2 + u2,-2υ), ( ) E F F G = [dX][dX]t, άρα
E(u,v) = ⟨Xu, Xu⟩ = (u2 + v2 + 1)2 F(u,v) = ⟨Xu, Xv⟩ = 0 G(u,v) = ⟨Xv,Xv ⟩ = (u2 + v2 + 1)2 (ελέγ ξτε τις πράξεις).
Η μετρική ds2 που επάγεται στην περιοχή παραμέτρησης U = ℝ × ℝ3 είναι
ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2
και συγκεκριμένα
( ) 2 t E (u,v) F(u,v) ds(u,v)(Z, W ) = Z W ( F (u,v) G(u,v) ) (u2 + v2 + 1)2 0 = Zt 2 2 2 W 0 (u + v + 1)
για κάθε (u,υ) ∈ U ⊂ ℝ2 και Z,W ∈ ℝ2. Η απεικόνιση Gauss είναι N : M → S2
-Xu-×-Xv--- -Xu-×-Xv--- ------1----- 2 2 N (u,v) = ∥Xu × Xv ∥ = √EG----F-2-= (u2 + v2 + 1)( - 2u,2v,1- u + v )
(κάντε τις πράξεις – είναι αρκετές!).

Για τα θεμελιώδη ποσά δεύτερης τάξης χρησιμοποιούμε τους τύπους

-----1----- 2 2 2 2 e = ⟨N,Xuu ⟩ = u2 + v2 + 1(4u + 4v + 2 - 2u - 2v ) = 2 f = ⟨N, Xuv⟩ = 0 g = ⟨N, Xvv⟩ = 2.
Ο τελεστής σχήματος στο τυχαίο σημείο p = X(u,υ) ∈ M είναι
Sp : TpM → TpM, Sp(Z) = - dNp(Z )
και γνωρίζουμε ότι ο πίνακάς του είναι
( e f ) ( E F ) -1 ( e f ) ( G - F ) [Sp] = = ----1---2 f g F G EG - F f g - F E ( ) ( ) ( ) = ------1------ 2 0 1 0 = ------1------ 2 0 . (u2 + v2 + 1)2 0 - 2 0 1 (u2 + v2 + 1)2 0 - 2
Ο τελεστής σχήματος (ως γραμμική απεικόνιση) καθορίζεται πλήρως από τον παραπάνω πίνακα. Οι ιδιοτιμές του τελεστή σχήματος είναι οι κύριες καμπυλότητες, άρα
κ1 = - κ2 =------2------. (u2 + v2 + 1)2
Τέλος, η καμπυλότητα Gauss είναι
-------4----- K(u,v) = det[Sp ] = (u2 + v2 + 1)4
και η μέση καμπυλότητα είναι
1- 1- H = 2tr[Sp] = 2 (κ1 + κ2) = 0,
δηλαδή η επιφάνεια M είναι ελάχιστης έκτασης.

Παράδειγμα 5.5: Θεωρούμε την κανονική επιφάνεια M ⊂ ℝ3 με (ολική) παραμέτρηση X : ℝ2 → M,X(u,υ) = (u,υ,u2 -υ2).

Λύση

α) Είναι Xu = (1,0,2u),Xυ = (0,1,-2υ). ΄Αρα
E = ⟨Xu, Xu⟩ = 1+ 4u2, F = ⟨Xu, Xv⟩ = - 4uv G = ⟨Xv, Xv⟩ = 1+ 4v2.

β) Μια απεικόνιση Gauss είναι

N (X (u,v )) = -Xu-×--Xv--= √-----1-------(- 2u,2v,1). ∥Xu × Xv∥ 4u2 + 4v2 + 1

γ) ϒπολογίζουμε Xuu = (0,0,2),Xuυ = (0,0,0),Xυυ = (0,0,-2) άρα τα θεμελιώδη ποσά δεύτερης τάξης είναι

------2-------- e = ⟨N,Xuu ⟩ = √4u2-+-4v2-+-1- f = ⟨N,Xuv ⟩ = 0 g = ⟨N,Xvv ⟩ = √------2------. 4u2 + 4v2 + 1
Η δεύτερη θεμελιώδης μορφή είναι
II = √-----2-------du2 - √------2------dv2. 4u2 + 4v2 + 1 4u2 + 4v2 + 1
Τέλος, είναι K = eg - f2 --------2 EG - F = - 4 --------------2 (4u2 + 4v2 + 1) (μονίμως αρνητική).

δ) Είναι ∥˙γ(0)∥2 = a2 + b2 το οποίο πρέπει να είναι μοναδιαίο διάνυσμα, άρα a = cosθ,b = sinθ. Συνεπώς, η κάθετη καμπυλότητα στο σημείο p = γ(0) ως προς τη διεύθυνση του Z = ˙γ(0) είναι

2 2 κ (γ˙(0)) = II (Z,Z ) = 2cos-θ√ --sin-θ = 2cos 2θ ∈ [- 2,2]. γ(0) p 1
Εδώ λάβαμε υπόψη από το γ) ότι
2(a2 - b2) IIX (u,v)(aXu + bXv ) = ea2 + 2fab + gb2 = √------------. 4u2 + 4v2 + 1

Παράδειγμα 5.6: Δείξτε ότι η μέση καμπυλότητα μιας κανονικής επιφάνειας στο σημείο p δίνεται από τη σχέση

∫ 2π H = -1- κp(θ)d θ, 2 π 0
όπου κp(θ) είναι η κάθετη καμπυλότητα στο p ως προς μια κατεύθυνση που σχηματίζει γωνία θ με σταθερό διάνυσμα.

Λύση

Από τον τύπο του Euler
2 2 κp(θ) = κ1 cos θ + κ2 sin θ,
όπου κ1,κ2 είναι οι κύριες καμπυλότητες στο p. Επομένως, έχουμε
∫ 2π ∫ 2π 2 2 ∫ 2π 2 ∫ 2π 2 κp(θ)dθ = (κ1 cos θ + κ2 sin θ)dθ = κ1 cos θdθ + κ2 sin θdθ 0 0∫ 2π ∫ 2π 0 0 = κ1 cos2θ +-1-dθ + κ2 1---cos2θ dθ = κ1π + κ2π. 0 2 0 2
΄Αρα
∫ 2π 1-- κp(θ)dθ = κ1π-+-κ2π-= κ1-+-κ2 = H. 2π 0 2π 2

Παράδειγμα 5.7: ΄Εστω μια κανονική επιφάνεια M και p ∈ M. Αν w1,w2 ∈ TpM είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα τα οποία ικανοποιούν τις σχέσεις

Sp(w1 ) = 3w1 - 2w2 και Sp(w2) = w1,
όπου Sp = -dNp είναι ο τελεστής σχήματος της M στο p, να υπολογιστούν οι κύριες καμπυλότητες της επιφάνειας M στο σημείο p.

Λύση

Για να υπολογίσουμε τις κύριες καμπυλοτητες, πρέπει να υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές του τελεστή σχήματος Sp : TpM → TpM. ΄Εστω λ μια ιδιοτιμή του Sp και u ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί σε αυτήν. Επειδή τα w1,w2 είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, θα έχουμε u = aw1 + bw2. Επειδή Sp(u) = λu και
Sp(u) = Sp(aw1 + bw2) = aSp(w1)+ bSp (w2 ) = a (3w1 - 2w2 )+ bw1 = (3a + b)w1 + (- 2a)w2,
έχουμε ότι
(3a+ b)w1 + (- 2a )w2 = λ(aw1 + bw2 ), δηλαδή (3a + b- λa)w1 + (- 2a- λb)w2 = 0.
Από την τελευταία εξίσωση και αφού τα w1,w2 είναι γραμμικώς ανεξάρτητα θα έχουμε
(3- λ)a + b = 0, 2a+ λb = 0.
(5.9)

Επειδή το u είναι ένα ιδιοδιάνυσμα, θα είναι u≠0, οπότε

(a ) (0 ) ⁄= . b 0
Το γραμμικό και ομογενές σύστημα (5.9) πρέπει να έχει μη μηδενική λύση. ΄Αρα
( ) det 3 - λ 1 = 0 ⇔ λ2 - 3λ + 2 = 0. 2 λ
Απο την τελευταία εξίσωση παίρνουμε λ = 1 και λ = 2. Αφού οι ιδιοτιμές του Sp είναι το 1 και 2, οι κύριες καμπυλότητες της επιφάνειας στο σημείο p είναι το 1 και 2.

Παράδειγμα 5.8: Δίνεται μια κανονική επιφάνεια M και ο εφαπτόμενος χώρος της TpM στο σημείο p ∈ M. Αν υποθέσουμε ότι w1,w2 ∈ TpM είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα, τότε ισχύουν οι σχέσεις

Λύση

Τα διανύσματα w1,w2 αποτελούν βάση του εφαπτόμενου χώρου TpM, οπότε μπορούμε να γράψουμε ότι
Sp(w1) = λ1w1 + μ1w2, Sp(w2) = λ2w1 + μ2w2,
οπότε ο πίνακας του τελεστή σχήματος Sp : TpM → TpM (ως προς τη βάση αυτή) είναι ο
( ) λ1 λ2 [Sp] = μ1 μ2 .
Επομένως, θα είναι
K (p) = det([S ]) = λ μ - λ μ p 1 2 2 1 H(p) = 1tr([Sp]) = 1(λ1 + μ2 ), 2 2
οπότε
Sp(w1) × Sp(w2) = (λ1w1 + μ1w2 )× (λ2w1 + μ2w2) = λ1λ2(w1 × w1 )+ λ1μ2(w1 × w2) + λ2μ1(w2 × w1) + μ1μ2(w2 × w2) = (λ1μ2 - λ2μ1)(w1 × w2) = K (p )(w1 × w2).
Ανάλογα, έχουμε ότι
Sp(w1)× w2 + w1 × Sp (w2 ) = (λ1w1 + μ1w2) × w2 + w1 × (λ2w1 + μ2w2) = (λ1 + μ2)(w1 × w2 ) = 2H (p)(w1 × w2).

5.3 Ασκήσεις

1. ϒπολογίστε την καμπυλότητα Gauss και τη μέση καμπυλότητα της επιφάνειας X(u,υ) = (u + υ,u-υ,uυ) στο σημείο (2,0,1.)

2. ΄Εστω U ανοικτό υποσύνολο του ℝ3 και q ∈ ℝ μια κανονική τιμή της διαφορίσιμης συνάρτησης f : U → ℝ. Αποδείξτε ότι η κανονική επιφάνεια M = f-1({q}) του ℝ3 είναι προσανατολίσιμη.

3. ϒπολογίστε την καμπυλότητα Gauss και τη μέση καμπυλότητα της σφαίρας

S2 = {(x,y,z) ∈ ℝ3 : x2 + y2 + z2 = r2} . r

4. Δίνεται η επιφάνεια του Enneper με παραμέτρηση X : ℝ × ℝ+ → ℝ3

X (u, v) = (3u - u3 + 3uv2, 3v - v3 + 3vu2,3u2 - 3v2).
ϒπολογίστε:

Σχήμα 5.7: Η επιφάνεια του Enneper.

5. ϒπολογίστε την καμπυλότητα Gauss και τη μέση καμπυλότητα της αλυσοειδούς επιφάνειας (catenoid) M με παραμέτρηση X : ℝ × ℝ+ → ℝ3

(1 + r2 1+ r2 ) X (θ,r) = ------ cos θ,------sin θ,log r . 2r 2r

Βρείτε μια εξίσωση της μορφής f(x,y,z) = 0 που να περιγράφει τη M.


Σχήμα 5.8: Αλυσοειδής επιφάνεια.

6. ΄Εστω X,Y : ℝ2 → ℝ3 με X(u,υ) = (cosh u cos v,cosh u sinv,u ) Y (u,υ) = (sinh ucosv,sinhu sin v,v) οι παραμετρήσεις της αλυσοειδούς και ελικοειδούς επιφάνειας αντίστοιχα. ϒπολογίστε τις κύριες καμπυλότητες κ1,κ2 των X,Y.


Σχήμα 5.9: Ελικοειδής επιφάνεια.

7. Αποδείξτε ότι η δεύτερη θεμελιώδης μορφή μιας κανονικής επιφάνειας M του ℝ3 παραμένει αναλλοίωτη κάτω από στερεές κινήσεις.

8. ΄Εστω γ : ℝ → ℝ3 μια κανονική καμπύλη με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου και με καμπυλότητα μη μηδενική. ΄Εστω ⃗n,⃗ b τα διανύσματα της πρώτης καθέτου και της δεύτερης καθέτου της γ αντίστοιχα. Για r > 0 υποθέτουμε ότι ο σωλήνας (tube) M ακτίνας r περί τη γ με παραμέτριση X : ℝ2 → ℝ3, X(s,θ) = γ(s) + r(cosθ ⋅⃗n(s) + sinθ ⋅⃗b(s)) είναι μια κανονική επιφάνεια του ℝ3. ϒπολογίστε την καμπυλότητα Gauss K της επιφάνειας M ως προς s,θ,r,k(s) και τ(s).

9. ΄Εστω X : U → ℝ3 παραμέτρηση μιας επιφάνειας M του ℝ3 με απεικόνιση Gauss N : M → S2 και με κύριες καμπυλότητες k1 = 1 -- r1,k2 = 1 -- r2. ΄Εστω r ∈ ℝ τέτοιο ώστε η Xr : U → ℝ3 με Xr(u,υ) = X(u,υ) + rN(u,υ) να είναι παραμέτρηση μιας επιφάνειας του ℝ3. Αποδείξτε ότι οι κύριες καμπυλότητες της Xr ικανοποιούν τις σχέσεις k1(r) = --1--- r1 - r και k2(r) = --1--- r2 - r.

10. ϒπολογίστε την καμπυλότητα Gauss της επιφάνειας με παραμέτρηση X : ℝ × ℝ → M,

( ( θ ) ( θ ) ) Xa (r,θ) = rsin acos ----- ,r sina sin ----- ,rcosa . sina sina

11. Εφοδιάζουμε τους χώρους ℝ2 και ℝ4 με τα κανονικά εσωτερικά γινόμενα. Αποδείξτε ότι η παραμέτρηση X : ℝ2 → ℝ4 με X(u,υ) = (cosu,sinu,cosv,sinv) του συμπαγούς δακτυλίου (torus) M στον ℝ4 είναι ισομετρική. Τί μας λέει αυτό για την καμπυλότητα Gauss του M;

12. ΄Εστω α(s) μια καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητα με στρέψη τ(s)≠0 και διάνυσμα δεύτερης κάθετης B(s). Θεωρούμε την επιφάνεια M με τοπική παραμέτρηση

X (s,u) = α(s)+ uB (s),
γνωστή ως ευθειογενής επιφάνεια. Αποδείξτε ότι η καμπυλότητα Gauss της M στο σημείο X(s,u) δίνεται από τη σχέση
τ(s)2 K (s,u) = -------2---2-2. (1+ u τ(s))

13. (a) Εξηγήστε (χωρίς ιδιαίτερους υπολογισμούς) γιατί οι παρακάτω επιφάνειες δεν είναι ανα δύο τοπικά ισομετρικές

(b) Δώστε παράδειγμα επιφάνειας με σταθερή καμπυλότητα Gauss K = -1. Γράψτε την πρώτη θεμελιώδη μορφή αυτής.

14. Αναζητήστε στη βιβλιογραφία μια απόδειξη του Θεωρήματος 5.7.

Βιβλιογραφία

[1]   M. Abate and F. Torena, Curves and Surfaces, Springer 2012.

[2]   C. Bär Elementary Differential Geometry, Cambridge Univ. Press 2010.

[3]   M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall 1976.

[4]   J. Oprea, Differential Geometry and Its Applications, The Mathematical Assocation of America, 2007.

[5]   Β. Ι. Παπαντωνίου, Διαφορική Γεωμετρία, Εκδ. Πανεπιστ. Πατρών, Πάτρα, 2013.

[6]   A. Pressley, Elementary Differential Geometry, Second Edition, Springer 2010. Μετάφραση: Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Κρήτη 2012.